Question

W trapezie równoramiennym przekątna jest dwusieczną kata ostrego, a dłuższa podstawa jest o 5cm dłuższa od krótszej. Oblicz długości wszystkich boków trapezu, wiedząc, że jego obwód wynosi 25cm.

Answer 1

Trapez równoramienny ABCD
AB - dłuższa podstawa trapezu
CD - krótsza podstawa trapezu
AD, BC - ramiona trapezu
O - obwód trapezu
AC, BD - przekątne

|CD| = x (długość podstawy CD wynosi x)
|AB| = x + 5
|AC| = |BD| (przekątne w trapezie równoramiennym są równe)

Równe są też kąty BAC i ACD (∢ BAC = ∢ ACD), bo są to katy naprzemianległe zewnętrzne, a jeśli dwie proste równoległe( w naszym przypadku proste zawierające podstawy trapezu) przetniemy trzecią prostą (w naszym przypadku prostą zawierającą przekątna AC) to kąty naprzemianległe są równe.
stąd ∢ BAC = ∢ ACD

Dwusieczna kąta BAD zawiera przekątna AC, czyli dzieli ∢ BAD na kwa kąty równe: ∢ BAC = ∢ CAD

Jeśli ∢ BAC = ∢ CAD i ∢ BAC = ∢ ACD to ∢ CAD = ∢ ACD a są to kąty w trójkącie ACD, czyli Δ ACD jest równoramienny ( tak samo Δ ABC)
Jeśli Δ ACD, Δ ABC są równoramienne to |AD| = |CD| = |BC| = x

O = 25 cm
O = |AB| + |DC| + |BC| + |AD|
x + 5 + x + x + x = 25
4x + 5 = 25
4x = 25 - 5
4x = 20 /:4
x = 5

|AB| = x + 5 = 5 + 5 = 10 cm
|BC| = x = 5 cm
|CD| = x = 5 cm
|AD| = x = 5 cm