Question

W trapezie równoramiennym kąty przy krótszej podstawie są trzykrotnie większe od kątów przy dłuższej podstawie. Krótsza podstawa ma długość 4 cm, a odcinek łączący środki ramion - 6 cm. Oblicz pole i obwód tego trapezu.

Answer 1

Odcinek łączący środki ramion w trapezie jest średnią arytmetyczną dł. podstaw, czyli z tego wynika, że dłuższa podstawa ma dł. 8 cm. Niech x będzie miarą kąta przy krótszej podstawie. Wtedy:
2x=3(2(180-x))
Z czego wychodzi, że x=135 stopni, a 180-x=45 stopni. W takim razie tworzy nam się trójkąt prostokątny, którego jedną przyprostokątną jest wysokość, a przeciwprostokątną ramię trapezu. Ponieważ w takim trójkącie dł. przyprostokątnych są równe (kąt 45 stopni), to wysokość trapezu ma dł. 2 (długość drugiej przyprostokątnej jest równa (8-4)/2). Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy dł. ramienia trapezu. Teraz wystarczy policzyć pole i obwód.
P=\frac{2(8+4)}{2}=12cm^{2}
O=4+8+2\sqrt{2}=12+2\sqrt{2}cm