Question

W trapezie rownoramiennym ABCD w ktorym AB||CD oraz AB= 2a i CD= a przekatna AC zawiera sie w dwusiecznej kata DAB Oblicz dlugosc promienia okregu wpisanego w trojkat ABC xD

Answer 1

Mozemy zauwazyc, ze |∢DAC|=|∢ACD|=α.
|∢DAB|=|∢ABC|=2α

Mozemy zauwazyc, ze ΔACD jest rownramienny, a wtedy:
|DA|=|CD|=a=|BC|

Oznaczmy spadek wysokosci z punktu D jako E.
|AE|=a/2
W ΔADE:
cos2α=a/2/a
cos2α=1/2
2α=60°
α=30°
Zauwazmy, ze |∢ACB|=180-3α, czyli |∢ACB|=90°
r- promien okregu wpisanego
r= (|AC|+|BC|-|AB|)/2
z tw Pitagorasa
|AC|²+|BC|²=|AB|²
|AC|²=3a²
|AC|=√3a
r=(√3a+a-2a)/2
r=a(√3-1)/2