Question

W trapezie równoramiennym ABCD o podstawach |AB|=a i |CD|=b, przekątne przecinają się w punkcie S. Wykaż, że stosunek pola trójkąta ABS do pola trójkąta CDS jest równy

Answer 1

Na rysuknu przedłużyłem boki i przekątne. Teraz widać że przekątna przecina dwie proste równoległe, korzystając z twierdzenia o kątach naprzemianległych oraz wiedzy, że trapez jest równoramienny (jego przekątne są równej długości), zauważamy, że ich kąty (oznaczone alfa) są równe, skoro każdy z nich ma identyczne 2 kąty, to i 3 kąt musi być taki sam. Zatem z cechy podobieństwa KKK (nie Ku Klux Klan a kąt-kąt-kąt ;) ) , stwierdzamy że trójkąty ABS i CDS są podobne, a ich skala podobieństwa do np. .Stosunek pól figur podobnych, jest zawsze równy kwadratowi jego skali podobieństwa, zatem stosunek pól trójkątów ABS i CDS jest równy .