Question

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna tworzy z dłuższym bokiem kąt prosty. Ponadto oba te odcinki są sobie równe. Oblicz pole i obwód trapezu oraz drugą przekątną

Answer 1

Odpowiedź
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna (oznaczmy ją x) tworzy z dłuższym bokiem (też x, bo są równe odcinki) kąt prosty,
zatem trapez został podzielony na dwa trójkąty prostokątne równoramienne o kątach przy podstawie 45 stopni.
Dolna podstawa trapezu ma długość x√2 (wzór na przekątną kwadratu), a górna ½*x√2, wysokość trapezu jest równa tyle samo co górna podstawa ½*x√2
Obliczamy pole trapezu
P=½(podstawa górna + podstawa dolna)* wysokość trapezu
P=½[ ½*x√2+ x√2]*½*x√2
P=½*³/₂x√2*½*x√2=⅜*2*x² = ¾x²
Obliczamy obwód trapezu
L=½*x√2+½*x√2+x+x√2 = 2x√2+x = x(2√2+1)
Obliczamy drugą przekątną (oznaczmy ją p)
Korzystamy z tw. Pitagorasa
(wysokość trapezu)² + (dolna podstawa)² = p²
(½*x√2)² + (x√2)² = p²
½x² + 2x² = p²
p² = 2½x²
p=√(2½x²)=x*√(⁵/₂)
p=√⁵/√₂*x (usuwamy niewymierność)
p=√10/₂ *x