Question

W trapezie ABCD o podstawach AB i DC odcinki AD i DC zawierają się w prostych prostopadłych, ∢ABC=30stopni, |BC|=4√3, |CD|=3.Oblicz pole i obwód tego trapezu.

Answer 1

Pierwsze, co robimy, to rysujemy wysokość tego trapezu, która zawiera punkt C i punkt E, który dorysowujemy na odcinku |AB|.

 

Powstaje nam trójkąt EBC o bokach 90 stopni, 60 stopni i 30 stopni. Dobrze znamy jego właściwości o bokach a, a√3 i 2a. W tym przypadku jako 2a przyjmujemy |CB|=4√3.

 

2a=4√3

a=2√3

a√3=6

 

h=a=2√3

a√3=|EB|=6

 

|DA|=h natomiast |AB|=|DC|+|EB|

 

Obw = 3 + 4√3 + 2√3 + 3 + 6 = 12 + 6√3 = 6(2+√3)

S = (3 + 9) × 2√3 ÷ 2 = 12√3

Answer 2

Oznaczenia (patrz załącznik)

AB, CD - podstawy trapezu

AD, CE - wyskość trapezu

BC - ramię trapezu

O - obwód trapezu

P - pole trapezu

 

Trpazez ABCD jest prostokątny, bo AD _|_ CD

∢ABC = 30°

|BC| = 4√3

|CD| = |AE| = 3

 

|AD| = |CE|

|AB| = |AE| + |BE|

 

ΔBEC - trójkąt prostokątny (30°, 60°, 90°)

W trójkącie prostokątny o kątach 30°, 60°, 90° jeśli przeciwprostokątna ma długość 2x, to przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30° ma długość x, a naprzeciw kąta 60° ma długość x√3.

 

Stąd:

|BC| = 2x; |CE| = x; |BE| = x√3

 

|BC| = 4√3

2x = 4√3  |:2

x = 2√3

 

|AD| = |CE| = 2√3

|BE| = 2√3 · √3 = 6

 

|AB| = |AE| + |BE| = 3 + 6 = 9

 

O = |AB| + |BC| + |CD| + |AD|

O = 9 + 4√3 + 3 + 2√3  = 12 + 6√3 = 6 · (2 + √3)

 

P = ½ · (|AB| + |CD|) · |AD|

P = ½ · (9 + 3) · 2√3  = ½ · 12 · 2√3  = 12√3

 

Odp. Pole trapezu wynosi 12√3 j², a jego obwód 6 · (2 + √3) j.