Question

W trapezie ABCD, AB || DC, poprowadzono przekątne, które przecięły się w punkcie P. Wykaż, że pola trójkątów BBCP i APD są równe.

[kl I LO, podręcznik do poziomu podstawowego i rozszerzonego z Oficyny Edukacyjnej]

Answer 1

rysunek w załączniku

 

P- pole

Pole trójkąta:

P= a*h*1/2

 

P ABD= a*h*1/2= P2+P4

P ABC= a*h*1/2= P1+P4

 

P2+P4=P1+P4

P2=P1

 

 

Answer 2

 Łatwo zauważyć że kąty:
ABD i BDC są sobie równe, tak samo kąty BAC i ACD

(ponieważ AB||CD)

tak samo kąty APB=DPC(kąty wierzchołkowe)

z tych informacji mamy że trótkąty ΔAPB i ΔDPC są podobne(na podstawie cechy kat kąt kąt)

 

 stąd mamy stosunki:

DP/PB=CP/PA, mnożymy na krzyż i mamy:

DP*PA=CP*PB, podzielmy to przez 2 oraz pomnożmy przez sinus kąta CPB(który równa się kątowi DPA - kąty wierzchołkowe i niech one nazywają sie α), i mamy:

DP*PA*sinα*½= CP*PB*sinα*½ 

 

Prawa strona otrzymanej równości to nic innego jak pole ΔBCP , zaś lewa to pole ΔDPA, co należalo dowieść.

 

 

 

 Pozdrawiam :D