Question

W sześciokąt foremny o boku długości a wpisano okrąg, a w okrąg ten wpisano kwarat. Oblicz stosunek pola sześciokąta do pola kwadratu.

Answer 1

On się składa z takich trójkącików równobocznych:

każdy z trójkącikków ma bok = a, czyli jego wysokość to (a pierwiastków z 3)/2

taki też jest promień okręgu wpisanego w ten sześciokąt (narysuj sobie)

później wpisujesz kwadrat w okrąg, (najlepiej na osobnym rysunku - dla czytelności) rysujesz jego przekątną,i zauważasz że ta przekątna to dwa promienie

jeżeli bok kwadratu nazwiemy b, to przekątna ma długość = b pierwiastków z 2

czyli b * pierwiastek(2) = 2 * (a*pierwiastek(3) / 2)

zatem b=a*pierwiastek(3/2)

czyli pole kwadratu to 3/2 a^2

a pole sześciokąta to [(a^2 * pierwiastek(3))/4 ]*6 (sześć razy pole trójkącika)

dzielisz jedno przez drugie i masz stosunek