Question

W równoległoboku boki mają długość AB=2√5 BC=5 krótsza wysokość DE rownoległoboku ma dlugość 4:
a)oblicz dłuzszą wysokość DF
b)wyznacz obwód i pole czworokata BFDE
c)WYKAZ ŻE na czworokacie BFDE można opisać okrag i oblicz dlugość promienia tego okregu

Answer 1

a)

pole jest takie samo, niezależnie który bok (z wysokością na niego opuszczoną) beirzemy pod uwagę, ponieważ √5 > √4 = 2, to 5 > 2√5, więc krótsza przekątna jest opuszczona na dłuższy bok czyli - 5:

P = 5*4 = 20

P = 2√5 * h

20 = 2√5 * h

|FD| = h =

 

b)

najpierw obwód:

|BF| = |AB| - |AF|

z tw. Pitagorasa:

|AF|² + |FD|² = |AD|²

|AF|² = 5² - (2√5)² = 25 - 20 = 5

|AF| = √5

|BF| = 2√5 - √5 = √5

 

|BE| = |BC| - |EC|

z tw. Pitagorasa:

|EC|² + |ED|² = |CD|²

|AF|² = (2√5)² - 4² = 20 - 16 = 4

|AF| = 2

|BF| = 5 - 2 = 3

 

obwód:

D = |BE| + |ED| + |DF| + |FB| = 3 + 4 + 2√5 + √5 = 7 + 3√5

 

pole:

 

b)

warnek na opisanie okręgu na czworokącie, to fakt, że sumy mair przeciwległych kątów to 180°

ponieważ FD i ED to wysokości mamy:

|<BFD| + |<BED| = 90° + 90° = 180°

z warunku na sumę miar kątów w czworokącie:

|<BFD| + |<FDE| + |<BED| + |<EBF| = 360°

180° + |<FDE| + |<EBF| = 360°

|<FDE| + |<EBF| = 180°

 

Ponieważ wiemy już, że taki okrąg istnieje, wystarczy, że znajdziemy promień okręgu opisanego na trójkącie utworzonym przez 3 wieszchołki BFDE, mamy wzór:

P =

gdzie a, b, c to długości boków tego trójkąta, a R to promień okręgu opisanego

przyjmiemy:

a = |BE|, b = |ED|, c = |BD|

 

ponieważ |<BED| = 90° to:

|BE|² + |ED| = |BD|²

|BD|² = 4² + 3² = 25

|BD| = 5

 

P =

 

jak masz pytania to pisz na pw