Question

W rownolegloboku ABCD kat przecoecia przekatnych AC i BD ma miare 60. Na dluzszej przekatnej AC zaznaczono punkt E w taki sposob, ze odcinek DE jest prostopadly do przekatnej AC. Wiedzac ze DE=pierwiastek z 3 oraz <ADE= 45 stopni, oblicz dlugosc przekatnych rownolegloboku.

Answer 1

Brak rysunku może utrudnić sprawę ale ja to rozumiem tak:

 

Skoro DE jest prostopadłe do AC i kąt ADE= 45 stopni a odcinek DE = pierwiastek z 3 to AE też równa się pierwiastek z 3 zgodnie z funkcji trygonometrycznych lub jak ktos pamięta przecięcie kwadratu daje kąt 45 stopni

Oznaczamy Sobie punkt przeciecia przekątnych literą  O

 

z Trygonometry  tg45= AE/DE a ponieważ tg45 = 1

1=AE/DE

Zatem  AE=DE

 

Teraz jeżeli DE jest prostopadłe do AC  a <DOE = 60   (dane z zadania) to <EDO=30

 

I juz z gorki liczmy jako pierwszą dłuższa przekątną AC

[AE] = √3

[E0] = ?

Bo [AE] +[EO] = 1/2 [AC]  :)

Jak liczmy [EO]

tg60 = [DE]/[EO]

√3=√3/[EO]

[EO]=1

Zatem   √3+1=1/2 [AC]    ⇒    [AC]=  2√3 +2

 

Przekątna [BD]

 

[DO]=1/2 [BD]

 

sin30=1/[DO]

1/2 = 1/[DO]     ⇒ [DO] = 2   

A więc:

 

[BD]= 4