Question

W prostokącie jeden z boków skrócona a drugi wydłużono o x%, gdzie x jest liczbą pierwszą. W wyniku tego pole prostokąta zmniejszyło się o mniej niż 2%. Wyznacz liczbę x. Rozpatrz wszystkie możliwe rozwiązania.

Answer 1

Dany jest prostokąt o bokach a i b. 

 

Nalezy zauwazyc ze z wszystkich prostokatow o danym obwodzie O najwieksze pole ma kwadrat, tzn. prostokat dla ktorego a=b. Im stosunek boku dluzszego do krotszego jest wiekszy tym pole jest mniejsze. Stad wniosek ze aby pole w ogole uleglo zmniejszeniu to nalezy skracac bok krotszy a wydluzac dluzszy, (a nie odwrotnie, gdyz wtedy pole ulegloby zwiekszeniu).

Zalozmy ze bok a jest krotszy a bok b dluzszy.

Wrocmy do naszego prostokatu. Jego pole P=a*b. Skrocmy i wydluzmy jego boki o najmniejsza liczbe pierwsza % tj. o 2% i nazwijmy ten prostokat "2". Pole tego prostokata P2=0,98*a*1,02*b=0,9996ab=0,9996P=99,96%P. Pole zmniejszylo sie o 0,04% wiec warunek jest spelniony.

Kolejne prostokaty bedziemy nazywac kolejnymi wartosciami poszukiwanej liczby x.

Analogicznie liczymy dla kolejnych liczb pierwszych tj. 3,5,7,11,13,17,19,21 itd...

P3=0,97*a*1,03*b=0,9991*a*b=0,9991P=99,91%P. Pole zmniejszylo sie o 0,09% wiec warunek jest spelniony.

P5=........ (tu liczysz tak samo jak powyzej)
P7=........
P11=.......

P13=0,87*a*1,13*b=0,9831*a*b=0,9831P=98,31%P. Pole zmniejszylo sie o 1,69% wiec warunek spelniony.

P17=0,83*a*1,17*b=0,9711*a*b=0,9711P=97,11%P. Pole zmniejszylo sie o 2,89% czyli przekroczylismy zadana granice 2%.

Dalej nie trzeba liczyc gdyz dalsze zwiekszanie liczby x powoduje zmniejszenie pola o coraz wieksze wartosci, czyli na pewno wieksze od 2%.

Odpowiedz: warunek postawiony w zadaniu jest spelniony dla x nalezacego do zioru {2,3,5,7,11,13}. 

 

***************************************

 

Mozna tez prosciej: 

 

Px=a*(1-x/100)*b*(1+x/100)=(a-ax/100)(b+bx/100)=ab+abx/100-abx/100-ab(x^2)/10000=ab(1-x^2/10000). Stad wniosek ze % o ktory pomniejszy sie pole jest rowny (x^2)/10000.
Teraz wystarczy sprawdzac dla kolejnych liczb pierwszych:

(2^2)/10000=0,04
(3^2)/10000=0,09
(5^2)/10000=0,25
(7^2)/10000=0,49
(11^2)/10000=1,21
(13^2)/10000=1,69
(17^2)/10000=2,89 - granica 2% przekroczona.  

  

Mam nadzieje ze pomoglem.