Question

W prostokącie ABCD wierzchołek D połączono ze środkami boków AB i BC pukt przecięcia z bokiem AB to punkt E a z bokiem BC punkt F. Poprowadzono przekątną
AC, która przecina prostą DE w punkcie M a prostą DF w punkcie N. Udowodnij, że AM=MN=NC
Proszę o rozpisanie wszystkiego
Z góry dziękuję :)

Answer 1

Rysunek w załączniku.

Przedłużamy prostą przechodzącą przez punkty D i F i prostą zawartą w podstawie AB. Punkt ich przecięcia oznaczamy jako X. Długość , ponieważ prosta przechodzi przez jeden z wierzchołków prostokąta i przez środek krótszej krawędzi.

Trójkąty:

oraz 
są do siebie podobne, ponieważ posiadają wspólne kąty wierzchołkowe oraz 2 pozostałe kąty naprzemianległe równej miary:



Zatem korzystając z tego, że trójkąty są podobne w podanej skali:



Ostatecznie otrzymujemy więc dowód tezy:



///Khan.