W prostokącie ABCD wierzchołek A połączono odcinkami ze środkami boków
BC i CD. Udowodnij, że te odcinki dzielą przekątną BD na trzy odcinki
równej długości.
BC i CD. Udowodnij, że te odcinki dzielą przekątną BD na trzy odcinki
równej długości.
Tak utworzone odcinki dzielą przekątną BD na trzy równe odcinki.
Prostokąt
Prostokąt to czworokąt, który ma przeciwległe boki parami równoległe oraz są one parami równej długości. Wszystkie kąty w prostokącie mają takie same miary równe [tex]90^o[/tex]. Przekątne w prostokącie dzielą się na połowy.
Środkowa trójkąta
Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Wszystkie środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka trójkąta.
Mamy prostokąt ABCD. Odcinek AE łączy wierzchołek A ze środkiem boku BC, odcinek AF łączy wierzchołek A ze środkiem boku CD (rysunek z oznaczeniami w załączniku). Odcinki te przecinają przekątną BD prostokąta odpowiednio w punktach I oraz G.
Narysujmy przekątną AC. Przekątne przecinają się w punkcie H. Będziemy rozpatrywać powstałe trójkąty ABC oraz ACD.
W trójkącie ABC odcinki AE oraz BH są środkowymi. Z podanych wyżej informacji wiemy, że
[tex]|BI|=\frac23|BH|=\frac23*\frac12|BD|=\frac13|BD|[/tex].
W trójkącie ACD odcinki AF oraz DH są środkowymi. Mamy zatem
[tex]|DG|=\frac23|DH|=\frac23*\frac12|BD|=\frac13|BD|[/tex].
Odcinek GI ma długość
[tex]|GI|=|BD|-|BI|-|DG|=|BD|-\frac13|BD|-\frac13|BD|=\frac13|BD|[/tex].
Każdy z odcinków BI, GI oraz DG, na które została podzielona przekątna BD, mają długość równą [tex]\frac13|BD|[/tex], zatem odcinki AE i AF dzielą przekątną na trzy odcinki równej długości.
#SPJ1