Question

W prostokącie ABCD poprowadzono przekątną AC. Odcinek DE prostopadły do przekątnej AC i taki, że E € AB, przecina się z przekątną AC w punkcie F.

a) Które z powstałych trójkątów są podobne do trójkąta ACD? Odpowiedź uzasadnij.

b) Wiedząc dodatkowo, że |DF| = 12 cm, |EF| = 3 cm, oblicz długość przekątnej AC.

Proszę o dokładne objaśnienie(ze szczegółowym komentarzem), w jaki sposób uzasadnia się podobieństwa trójkątów.

Answer 1

Rysunek w zalaczniku.

Podobienstwa trojkatow uzasadnia sie za pomoca cech podobienstwa.

I. kkk  - wszystkie katy rowne

II. bbb- dlugosci odpowiednich bokow sa proporcjonalne.

III.bkb - dwa boki proporcjonalne i kat miedzy nimi rowny odpowiedniemu katowi w II trojkacie

IV.kbk - bok i dwa katy  (a co za tym idzie i trzeci kat) sa rowne.

a)

Trojkaty podobne do trojkata ACD sa trojkaty:

AEF, AFD, FCD, ABC - wszystkie wymienione trojkaty sa prostokatne i katy ostre maja rowne.

(cecha kkk), na rysunku katy sobie rowne zaznaczono tym samym kolorem.

b)

Z wlasnosci w trojkacie prostokatnym o dlugosci wysokosci poprowadzonej z wierzcholka kata prostego mamy:

Z podobienstwa trojkatow FCD i AEF w skali k=4 mamy

|FC|=4*6cm=24 cm

Dlugosc przekatnej |AC|=6cm+24cm=30 cm.