Question

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej równej 8√3 tworzy z wysokością ostrosłupa kąt 30º. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PILNE!!!!!

Answer 1

H sciany bocznej =8√3
H=wysokośc bryły
z własnosci kata 30⁰ wiesz,że ⅓h podstawy=½ h sciany bocznej=4√3
H bryły=a√3;2=8√3√3:2=12

⅓a√3:2=4√3/:√3
⅓a:2=4
⅓a=8
a=8:⅓
a=24= krawędź podstawy
Pp=a²√3:4=24²√3;4=144√3
v=⅓×144√3×12=576√3j.³

Answer 2

Wysokość ściany bocznej hś= 8√3
wysokość ostrosłupa H= ?
α= 30⁰ kąt między wysokością ściany bocznej hś i wysokością ostrosłupa H
Korzystamy z proporcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym o kącie α= 30⁰, przyprostokątnej przyległej do tego kąta równej wysokości ostrosłupa H, drugiej przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α równej jednej trzeciej wysokości podstawy ⅓hp (jest to ⅓ wysokości trójkąta równobocznego, promień okręgu wpisanego w trójkąt)
oraz przeciwprostokątnej równej wysokości ściany bocznej
hś= 8√3
I) Obliczamy wysokość ostrosłupa H:
cosα= H/hś, cos 30⁰= H/8√3, √³/₂= H/8√3
stąd H= 8√3*√³/₂= 12
II) Obliczamy wysokość podstawy hp:
najpierw wyznaczamy jedną trzecią wysokości podstawy ⅓hp
sinα= ⅓hp/hś, sin 30⁰= ⅓hp/8√3, ¹/₂= ⅓hp/8√3
⅓hp= 8√3*¹/₂= 4√3, stąd hp= 12√3
III) Obliczamy pole podstawy Pp ostrosłupa (pole trójkąta równobocznego o boku a):
hp= (a√3)/2, 12√3= (a√3)/2, stąd a√3= 12√3*2
a√3= 24√3, a= 24
Pp= (a²√3)/4= (24²√3)/4= 576√3/4= 144√3
IV) Obliczamy objętość ostrosłupa:
V= ⅓PpH= ⅓*144√3*12= 4*144√3= 576√3
Odp. Objętość ostrosłupa jest równa 576√3.