Question

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt zawarty między krawędzią boczną a wysokością ostrosłupa ma miarę 30°. Oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa, jeżeli pole podstawy jest równe 9√3cm kwadratowych.

Answer 1

Odpowiedź:

Pp - pole podstawy = 9√3 cm²

W podstawie jest trójkąt równoboczny ponieważ ostrosłup jest prawidłowy trójkątny

Pp = a²√3/4

a²√3/4 = 9√3

a²√3 = 4 * 9√3 cm² = 36√3 cm²

a² = 36√3 cm² : √3 = 36 cm²

a - bok podstawy = √36 cm = 6 cm

H - wysokość ostrosłupa

b - krawędź boczna ostrosłupa

α - kąt nachylenia krawędzi bocznej = 30°

R - promień okręgu opisanego na podstawie = a√3/3 = 6√3/3 cm =

= 2√3 cm

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny miarach kątów wewnętrznych 30° , 60° i 90° utworzony z odcinków H , b , R . Z własności tego trójkąta mamy :

H/R = √3/3

H = R * √3/3 = 2√3 cm * √3/3 = 2 * 3/3 cm = 2 cm

r - promień okręgu wpisanego w podstawę = a√3/6 = 6√3/6 cm = √3 cm

h - wysokość ściany bocznej = √(H² + r²) = √[2² + (√3)²] cm =

= √(4 + 3) cm = √7 cm

Pp - pole podstawy = 9√3 cm²

Pb - pole boczne = 3 * a * h/2 = 3 * 6 cm * √7 /2 cm = 3 * 3 cm * √7 cm =

= 9√7 cm²

Pc - pole całkowite = Pp + Pb = 9√3 cm² + 9√7 cm² = 9(√3 + √7) cm²

V - objętość = 1/3 * Pp * H = 1/3 * 9√3 cm² * 2 cm = 6√3 cm³

Rysunek w załączniku