Question

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Answer 1

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

a - bok podstawy ( trójkąt równoboczny)
b = 2a - krawędź boczna ostrosłupa
hp= 1/2*a√3 - wysokość trójkąta równobocznego
hś - wysokość ściany bocznej ( trójkąta tównoramiennego)
H - wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego
α - kąt nachylenia ściany bocznej ( wysokośi hś) do płaszczyzny podstawy ( do 1/3hp)

sin α = ?
sin α = H : hś =?


1. Obliczam wysokość H ostrosłupa
z trójkata prostokatnego
gdzie: H - przyprostokatna
2/3hp - przyprostokatna
b =2a - przeciwprostokatna

H² + (2/3hp)² = (2a)²
H² + (2/3*1/2*a√3)² = 4a²
H² + (1/3*a√3)² = 4a²
H² + (1/9*a²*3 )= 4a²
H² + 1/3a² = 4a²
H² = 4a² -1/3a²
H² = 12/3a² - 1/3a²
H² = 11/3a²
H = √(11/3a²)
H = a√(11/3)

2. obliczam wysokość hś ściany bocznej
z trójkąta prostokatnego, gdzie:
1/2a - przyprostokatna
hś - przyprostokatna
b = 2a - przeciwprostokatna
(1/2a)² + (hś)² = (2a)²
1/4a² + (hś)² = 4a²
(hś)² = 4a² - 1/4a²
(hś)² = 16/4a² - 1/4a²
(hs)² = 15/4a²
hś = √(15/4a²)
hs = a√(15/4)

3. Obliczam sin α

sin α = H: hś
sin α = ( a√(11/3) : (a√(15/4)
sinα = √(11/3) : √(15/4)
sin α = (√11 : √3) :(√15 : √4)
sin α = (√11 : √3)*( √4 :√15)
sin α = (√11*√4) : (√3*√15)
sinα = ( 2√11 ) : (√3*√3*√5)
sin α = ( 2√11 ) : ( 3√5)
sin α = (2/3)*√(11/5)
sin α = (2/3)*√2,2
sin α ≈ 0,9888