Question

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ma długość H. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę alfa. Oblicz objętość powierzchni kuli wpisanej w ten ostrosłup.

Answer 1

Wysokość - H

długość krawędzi bocznej - a

kąt nachylenie ściany do podstawy - alfa

Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt - 2P/(a+b+c)

w tym przypadku 2P/(a+2b)

Kule wpisana w ostrosłup traktujemy jak okrąg wpisany w trójkąt, w ktorym podstawa jest równa dł krawędzi podstawy ostrosłupa (a) ,a ramionami są długości ścian bocznych, w tym przypadku jest to trójkąt RÓWNORAMIENNY.

 

znajac funkcje trygonometryczne możemy wyliczyć a:

z Tw. pitagorasa wyznaczamy długość (b) ściany :

po przekształceniu:

Pole trójkąta jest równe:

P =\frac{aH}{2}

A więc promień jest równy:

 

2P/(a+2b)

tzn:

 

 

Mając  promień możemy wyliczyć objętość oraz pole powierzchni:

P = 4 * pi * r^2

 

V = 4/3 pi * r ^3