Question

W okręgu poprowadzono dwie cięciwy AB i CD, które przecięły się w punkcie E. Wiedząc, że \AB\ = 9 cm, \EB\ = 4 cm, \CE\ = 3 cm. Oblicz \ED\.

Uzasadnij, że kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym.

Answer 1

z.1

Mamy

AB  i  CD  - cięciwy okręgu, E  - punkt przecięcia się tych cięciw,

I AB I = 9 cm, I EBI = 4 cm, I CE I = 3 cm

Oblicz   I ED I

--------------------

Korzystamy z tw.

Jeżeli przez punkt E nie należący do okręgu o ( A, r) poprowadzimy dwie sieczne

przecinające ten okrąg odpowiednio w punktach A, B  i   C, D , to

 I E A I * I EB I  =  I EC I * I E D I

 

Mamy

I AB I = 9 cxm  i  I EB I = 4 cm, więc I EA I = 9 cm - 4 cm = 5 cm

oraz I CE I = 3 cm, to na podstawie ww. tw.  mamy

5 cm * 4 cm = 3 cm * I ED I

20 cm^2 = 3 cm *I ED I

I ED I = 20 cm^2 : 3 cm = (20/3)  cm = 6  2/3  cm

===============================================

z.2

Kat wpisany w  okrąg jest równy połowie kąta

środkowego opartego na tym samym łuku.

======================================

Kąt środkowy oparty na średnicy okręgu ma miarę 180 stopni, zatem kąt

wpisany oparty na średnicy ma miarę (1/2)* 180 stopni = 90 stopni,

czyli jest kątem prostym.