Question

W okręgu o środku O i promieniu 10 cm z jednej strony punktu O poprowadzono 2 równolegle cieciwy (AB i CD) oparte na kątach środkowych-120 stopni i 60 stopni. Oblicz pole trapezu ABCD i wykonaj odpowiedni rysunek i

Answer 1

|OA| = |OD| = |OC| = |OB| = r = 10cm

|DA| = |BC|        (jeśli trapez jest wpisany w okrąg to musi być równoramienny)

Skoro <DOC = 60° i |OC| = |OD|  to  ΔDOC jest równoboczny
czyli:
         |CD|=10cm  i  

ΔADO ≡ ΔBOC
{|OA|=|OD|=|OC|=|OB|  oraz  |DA|=|BC|  czyli trójkąty ADO i BOC są przystające}
 
więc  <AOD=<COB == 30°

wysokość trójkąta równobocznego dzieli kąt, z którego wychodzi na pół, czyli
<DOH = <HOC = 30°    ⇒       <AOF=<BOF = 30° + 30° = 60°

AB||CD     ⇒    HO  |  AB  
<AOF=60°  i  <OFA=90°   ⇒     <FAO=30°

W trójkącie prostokątnym, który ma kąty ostre równe 30° i 60° (ΔFOA) najdłuższy bok (r) jest dwa razy dłuższy niż najkrótszy (FO)
10 = 2|FO|  /:2
|FO| = 5cm
oraz trzeci bok (AF) jest równy iloczynowi  najkrótszego boku i √3
|AF| = 5√3 cm  ⇒  |AB| = 10√3

|HF| = |HO| - |HF| = 5√3 - 5

Pole trapezu:     
a = |AB|
b = |CD|
h = |HF|