Question

Trójkąt równoboczny, kwadrat i koło o tym samym obwodzie 12 obrócono wokół osi symetrii (w trójkącie wokół prostej zawierającej wysokość, w kwadracie wokół symetralnej boku, w kole wokół prostej zawierającą średnicę). Która z otrzymanych brył ma:
a) największą objętość;
b) największe pole powierzchni całkowitej?

Potrzebuję obliczeń do każdej z powstałych brył.

/ w odpowiedziach z tyłu książki jest napisane: a) walec - 6,75 pi^4; b)

kula - 144pi

Answer 1

Trójkąt równoboczny

Obw = 12 π

a = 12π : 3 = 4π

h = a√3 / 2  = 4π√3  / 2 = 2π√3

 

obracamy wokół wysokośc więc powstaje walec którego H = h = 2π√3, a r =1/2 * 4π = 2π

V = 1/3 π r² H = 1/3 π * 4π² * 2π √3 = 8/3 π⁴ √3

w przybliżeniu daje 429,6

 

Obliczamy l z tw Pitagorasa

h² + r ² = l²

12π² + 4π² = l²

l² = 16π²

l= 4π

 

Pc = π r² + π r l=π * 4π² + π*2π *4π = 4π³ + 8π³ = 12π³

w przybliżeniu 371,5

 

Kwadrat

Obw = 12π

a = 12π : 4 = 3π

Obracamy wokół symetralnej boku i otrzymamy walec, w którym

r =1/2 a = 3/2π      H =a =3π

V = π r² * H = π * 9/4 π² * 3 π = 27/4 π⁴ = 6,75 π⁴

w przybliżeniu 656,2

 

Pc = 2π r² + 2π r H = 2π *9/4 π²  + 2π * 3/2 π * 3π = 9/2 π ³ +9 π³ = 13½ π³

w przybliżeniu 417,5

 

Koło

Obw = 12 π

2π r  = 12π /:2π

r = 6

Obracamy wokół średnicy otrzymamy kulę o promieniu r = 6

V = 4/3 π r³ = 288π

w przybliżeniu 904,32

 

Pc = 4 π r² = 144π

w przybliżeniu 452,16

 

według moich obliczeń Największa objętość ma kula, bo wyszła większa liczba

objętość walca wyszła mi taka sama jak w twojej odp, ale obj kuli jest większa

Największe pole ma kula