Question

w odcinek koła, któremu odpowiada kąt 90 stopni, wpisano okrąg o możliwie największym promieniu. Oblicz długość tego okręgu, jeśli dane koło ma promień 10 cm.

bardzo blagaaaaaam na jutro do szkoly i nie ograniaaam

Answer 1

Ustalmy sobie że

- mamy do czynienia z okręgiem wpisanym w trójkąt prostokatny

- trójkąt ten jest prostokatny (bo odcinek ma kąt 90 stopni) ale i również jest równoramienny bo jego ramionami (przyprostokatne - czyli te boki bo leżą przy kącie prostym) są długość R - promienia tego dużego koła, którego długość obliczyc musimy

- weźmy oznaczmy przyprostokątna a = R , przyprostokątna b = R oraz przeciwprostokątnej nie znamy więc jakieś c

- mamy związki dla okręgu wpisamego w trójkąt prostokątny

r = 10 i jest to promień okręgu wpisanego w trójkąt

wzory ( z tablic matematycznych)

r = (a+b-c) /2 gdzie a,b,c to boki trójkąta

r = (ab)/(a+b+c)

 

podstawiamy to co mamy czyli a=R, b=R, r=10 i mamy

Pierwsze równanie

10 = (R+R-c)/2

10 =(2R - c) /2  (Mnożymy obustronnie przez 2)

20 = 2R - c

c = 2R - 20

 

Drugie równanie

10=(R*R)/(R+R+c)

10=(R²)/(2R + c)

Podstawiamy wcześniej wyznaczone c i mamy

10=(R²)/(2R+2R-20)

10/1 = (R²)/*(4R-20)

Korzystamy z proporcji i mnożymyna krzyż

10*(4R-20)=R²

40R-200-R²=0

-R²+40R-200=0

Korzystamy zdelty i liczymy że Δ=b²-4ac=1600-800=800

√Δ=√800=√(400*2)=20√2

R1=(-b-√Δ)/(2a)=(-40-20√2)/(2*(-1))=(-40-20√2)/(-2)=20+10√2

R2=(-b+√Δ)/(2a)=(-40+20√2)/(2*(-1))=(-40+20√2)/(-2)=20-10√2

I jedno i drugie rozwiązanie jest większe od zera więc mamy dwa rozwiązania

L=2πR

 

L1=2*(20+10√2)π=(40+20√2)π cm

L2=2*(20-10√2)π=(40-20√2)π cm

 

Jeśli ma być to maksymalnie długi promień to wybieramy pierwsze rozwiązanie bo R1>R2

Chyba jakoś tak

Mam nadzieję że nie popełniłam błędu :)