Question

W kwadrat wpisano drugi kwadrat w ten sposób, że bok kwadratu wpisanego tworzy z bokiem kwadratu opisanego kąt 30 stopni. Oblicz stosunek pola mniejszego kwadratu do pola większego kwadratu.

Bardzo proszę o szybką pomoc..

Answer 1

a - długość boku większego kwadratu

c - długość boku kwadratu wpisanego oraz długość przeciwprostokatnej

     trójkąta prostokątnego

b - długość przyprostkątnej trójkąta prostokatnego o kącie ostrym 30 stopni

a - b  - długość drugiej przyprostokatnej tego trójkata

Mamy

b/c = sin 30 st = 1/2

czyli b = c/2

a - b = a - c/2

Z tw. Pitargorasa dla trójkąta prostokątnego mamy:

( a - b)^2 + b^2 = c^2

( a - c/2)^2 + (c/2)^2 = c^2

a^2 - ac + c^2/4 + c^2/4 = c^2

a^2 - ac + c^2/2 = c^2

c^2 - c^2/2 + ac - a^2 = 0

c^2/2 + ac - a^2 = 0  / *2

c^2 +2ac - 2 a^2 = 0

====================

delta = (2a)^2 - 4*1*(-2 a^2) = 4a^2 + 8 a^2 = 12 a^2

p(delty) = 2 p(3)* a

zatem

c = [ -2a + 2 p(3) a]/2 = -a + p(3) a = ( p(3) - 1) a

Pole większego kwadratu

P1 = a^2

Pole mniejszego kwadratu

P2 = c^2 = [( p(3) - 1)a]^2 = [ p(3) -1)]^2 * a^2

zatem

P2/P1 = [ [ p(3) - 1]^2 *a^2]/ a^2 = (p(3) -1]^2

Odp. P2 / P1 = [ p(3) - 1]^2

===========================

 

 

Answer 2

Pole dużego kwadratu - P1

 

kożystamy z rysunku i zależnośći trójkąta 30, 60, 90

Pole małego kwadratu - P2

 

 

teraz wystarczy już tylko obliczyć :))