W jaki sposób można szybko policzyć rząd macierzy uzupełnionej na podanych układach równań liniowych.... Question from @kamil2001i

kamil2001i @kamil2001i

April 2022 1 37 Report

W jaki sposób można szybko policzyć rząd macierzy uzupełnionej na podanych układach równań liniowych. Obliczcie na ten przykład rząd macierzy uzupełnionej powyższych układów równań

Chemik97

Witaj :)

Aby w szybki sposób obliczyć rzędy macierzy uzupełnionych najlepszym rozwiązaniem będzie sprowadzenie danej macierzy do macierzy schodkowej za pomocą metody eliminacji Gaussa (przeprowadzanie operacji elementarnych na danej macierzy).

Macierz uzupełniona to macierz współczynników stojących przy niewiadomych uzupełniona o kolumnę wyrazów wolnych.

Dla macierzy schodkowej mamy:

liczba schodków = rząd macierzy.

PRZYKŁAD 9.59.

$U=\left[\begin{array}{ccccc}3&-5&2&4&2\\\\7&-4&1&3&5\\\\5&7&-4&-6&3\end{array}\right]$

1. Od drugiego wiersza odejmę wiersz pierwszy pomnożony przez $\frac{7}{3}$

$U=\left[\begin{array}{ccccc}3&-5&2&4&2\\\\0&\frac{23}{3} &-\frac{11}{3} &-\frac{11}{9} &\frac{1}{3} \\\\5&7&-4&-6&3\end{array}\right]$

2. Od trzeciego wiersza odejmę wiersz pierwszy pomnożony przez $\frac{5}{3}$

$U=\left[\begin{array}{ccccc}3&-5&2&4&2\\\\0&\frac{23}{3} &-\frac{11}{3} &-\frac{11}{9} &\frac{1}{3} \\\\0&\frac{46}{3} &-\frac{22}{3} &-\frac{38}{3} &-\frac{1}{3} \end{array}\right]$

3. Od wiersza trzeciego odejmuję wiersz drugi pomnożony przez 2

$U=\left[\begin{array}{ccccc}3&-5&2&4&2\\\\0&\frac{23}{3} &-\frac{11}{3} &-\frac{11}{9} &\frac{1}{3} \\\\0&0&0&-0 &-1\end{array}\right]$

Ostatecznie mamy:

$rz\left[\begin{array}{ccccc}3&-5&2&4&2\\\\7&-4&1&3&5\\\\5&7&-4&-6&3\end{array}\right]=rz\left[\begin{array}{ccccc}3&-5&2&4&2\\\\0&\frac{23}{3} &-\frac{11}{3} &-\frac{11}{9} &\frac{1}{3} \\\\0&0&0&-0 &-1\end{array}\right]=3\\\\\\rz(U)=3$

PRZYKŁAD 9.61.

$U=\left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&-2&1&4\\\\3&6&5&-4&3&5\\\\1&2&7&-4&1&11\\\\2&4&2&-3&3&6\end{array}\right]$

1. Od wiersza drugiego odejmuję wiersz pierwszy pomnożony przez 3

$U=\left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&-2&1&4\\\\0&0&-4&2&0&-7\\\\1&2&7&-4&1&11\\\\2&4&2&-3&3&6\end{array}\right]$

2. Od wiersza trzeciego odejmuję wiersz pierwszy

$U=\left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&-2&1&4\\\\0&0&-4&2&0&-7\\\\0&0& 4&-2&0&7\\\\2&4&2&-3&3&6\end{array}\right]$

3. Od wiersza czwartego odejmuję wiersz pierwszy pomnożony przez 2

$U=\left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&-2&1&4\\\\0&0&-4&2&0&-7\\\\0&0& 4&-2&0&7\\\\0&0&-4&1&1&-2\end{array}\right]$

4. Od wiersza trzeciego odejmuję wiersz drugi pomnożony przez (-1)

$U=\left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&-2&1&4\\\\0&0&-4&2&0&-7\\\\0&0& 0&0&0&0\\\\0&0&-4&1&1&-2\end{array}\right]$

5. Od wiersza czwartego odejmuję wiersz drugi

$U=\left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&-2&1&4\\\\0&0&-4&2&0&-7\\\\0&0& 0&0&0&0\\\\0&0&0&-1&1&5\end{array}\right]$

6. Dwa ostatnie wiersze zamieniam miejscami

$U=\left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&-2&1&4\\\\0&0&-4&2&0&-7\\\\0&0& 0&-1&1&5\\\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right]$

Ostatecznie mamy:

$rz\left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&-2&1&4\\\\3&6&5&-4&3&5\\\\1&2&7&-4&1&11\\\\2&4&2&-3&3&6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&-2&1&4\\\\0&0&-4&2&0&-7\\\\0&0& 0&-1&1&5\\\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right]=3\\\\\\rz(U)=3$

PRZYKŁAD 9.63.

$U=\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\3&3&2&1&10\\\\4&2&3&1&8\\\\3&5&1&1&15\\\\7&4&5&2&18\end{array}\right]$

1. Od wiersza drugiego odejmuję wiersz pierwszy pomnożony przez $\frac{3}{8}$

$U=\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\0&\frac{3}{4} &\frac{1}{8} &\frac{1}{4} &\frac{17}{8} \\\\4&2&3&1&8\\\\3&5&1&1&15\\\\7&4&5&2&18\end{array}\right]$

2. Od wiersza trzeciego odejmuję wiersz pierwszy podzielony przez 2

$U=\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\0&\frac{3}{4} &\frac{1}{8} &\frac{1}{4} &\frac{17}{8} \\\\0&-1&\frac{1}{2} &0&-\frac{5}{2} \\\\3&5&1&1&15\\\\7&4&5&2&18\end{array}\right]$

3. Od wiersza czwartego odejmuję wiersz pierwszy pomnożony przez $\frac{3}{8}$

$U=\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\0&\frac{3}{4} &\frac{1}{8} &\frac{1}{4} &\frac{17}{8} \\\\0&-1&\frac{1}{2} &0&-\frac{5}{2} \\\\0&\frac{11}{4} &-\frac{7}{8} &\frac{1}{4} &\frac{57}{8} \\\\7&4&5&2&18\end{array}\right]$

4. Od wiersza piątego odejmuję wiersz pierwszy pomnożony przez $\frac{7}{8}$

5. Wiersze drugi i trzeci zamieniam miejscami

$U=\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\0&-1 &\frac{1}{2} &0&-\frac{5}{2} \\\\0&\frac{3}{4} &\frac{1}{8}&\frac{1}{4} &\frac{17}{8} \\\\0&\frac{11}{4} &-\frac{7}{8} &\frac{1}{4} &\frac{57}{8} \\\\0&-\frac{5}{4}&\frac{5}{8} &\frac{1}{4} &-\frac{3}{8} \end{array}\right]$

6. Od wiersza trzeciego odejmuję wiersz drugi pomnożony przez $(-\frac{3}{4})$

$U=\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\0&-1 &\frac{1}{2} &0&-\frac{5}{2} \\\\0&0 &\frac{1}{2}&\frac{1}{4} &\frac{1}{4} \\\\0&\frac{11}{4} &-\frac{7}{8} &\frac{1}{4} &\frac{57}{8} \\\\0&-\frac{5}{4}&\frac{5}{8} &\frac{1}{4} &-\frac{3}{8} \end{array}\right]$

7. Od wiersza czwartego odejmuję wiersz drugi pomnożony przez $(-\frac{11}{4})$

$U=\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\0&-1 &\frac{1}{2} &0&-\frac{5}{2} \\\\0&0 &\frac{1}{2}&\frac{1}{4} &\frac{1}{4} \\\\0&0 &\frac{1}{2} &\frac{1}{4} &\frac{1}{4} \\\\0&-\frac{5}{4}&\frac{5}{8} &\frac{1}{4} &-\frac{3}{8} \end{array}\right]$

8. Od wiersza piątego odejmuję wiersz drugi pomnożony przez $\frac{5}{4}$

9. Od wiersza czwartego odejmuję wiersz trzeci

$U=\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\0&-1 &\frac{1}{2} &0&-\frac{5}{2} \\\\0&0 &\frac{1}{2}&\frac{1}{4} &\frac{1}{4} \\\\0&0 &0 &0&0 \\\\0&0&0 &\frac{1}{4} &\frac{11}{4} \end{array}\right]$

10. Dwa ostatnie wiersze zamieniam miejscami

$U=\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\0&-1 &\frac{1}{2} &0&-\frac{5}{2} \\\\0&0 &\frac{1}{2}&\frac{1}{4} &\frac{1}{4} \\\\0&0 &0 &\frac{1}{4}&\frac{11}{4} \\\\0&0&0 &0 &0 \end{array}\right]$

Ostatecznie mamy:

$rz\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\3&3&2&1&10\\\\4&2&3&1&8\\\\3&5&1&1&15\\\\7&4&5&2&18\end{array}\right]=rz\left[\begin{array}{cccccc}8&6&5&2&21\\\\0&-1 &\frac{1}{2} &0&-\frac{5}{2} \\\\0&0 &\frac{1}{2}&\frac{1}{4} &\frac{1}{4} \\\\0&0 &0 &\frac{1}{4}&\frac{11}{4} \\\\0&0&0 &0 &0 \end{array}\right] =4\\\\\\rz(U)=4$