Question

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy ma dł 10 cm, a wysokość 10\sqrt{2} (10 pierwiastkow z 2) Oblicz miarę kąta:
a) między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka,
b) nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do ściany bocznej mającej punkt wspólny z tą przekątną.

Answer 1

A=10cmH=10√2cm


a) między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka,
przekatna sciany bocznej  liczymy z pitagorasa:
10²+(10√2)²=x²
100+200=x²
300=x²
x=√300=10√3cm
przekatna krotsza podstawy ma wzor d=a√3 czyli d=10√3
zatem dwie przekatne scian bocznych i przekatna krotsza podstawy graniastolupa tworza Δ ktory ma wszystkie boki rowne bo x=d=10√3 cm , zatem jest on rownoboczny czyli  szukany kat α =180:3=60° 

b) nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do ściany bocznej mającej punkt wspólny z tą przekątną.

przekatna dlusza podstawy y=2a=2·10=20cm
liczymy najdluzsza przekatna graniastoslupa z tw,pitagorasa
y²+H²=D²
20²+(10√2)²=D²
400+200=D²
600=D²
D=√600=10√6 cm
krotsza przekatna podstawy d=a√3=10√3 cm
czyli przekatna dluzsza graniastoslupa tworzy razem z przekatna krotsza podstawy i czescia sciany bocznej Δ prostokatny 
sina=d/D=(10√3)/(10√6)=√3/√6=1/√2=√2/2 to  szukany kąt α=45°