Question

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy jest równa d i tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt alfa. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Answer 1

Patrz zalacznik

zrobiony moim programem:

http://l5.pk.edu.pl/~kraus/bryly_3d/bryly.php

DANE d,α

d=a√2

a=d/√2=d√2/2

z zoltego:

d1=d/(2cosα)

d1²=a²+h²

d1²=d²/2+h²

h²=d²/(4cos²α)-d²/2

h²=d²/4·[1/cos²α-2]

h²=d²/(4·cos²α)(1-2cos²α)

h²=d²/(4·cos²α)(sin²α-cos²α)

h=d/(2cosα)·√(-cos2α)

 

Warunek rozwiazalnosci

2α>90

α>45°

Pp=a²=d²/2

V=Pp·h=d³/(4cosα)·√(-cos2α)

 

ODP:

 

V=d³/(4cosα)·√(-cos2α)  i α>45°

 

pozdr

 

Hans

 

Polecam cytowany w/w program

 

 

Answer 2

Graniastoslup oznaczam:   ABCD - podstawa dolna,   A₁B₁C₁D₁ - podstawa gorna,

  O - srodek przekatnej podstawy dolnej,  h - wysokosc graniastoslupa, 

  a - krawedz podstawy,  d - przekatna podstawy (dolnej),  α - kat OAD₁

Dane:     d,  α                       V = ?            V = a² h

                                    d            d√2

   d = a√2     ⇒  a = ----- = -------                             I AO I = ½ d

                                    √2             2

 

Z Δ AOD₁  obliczamy dlugosc przekatnej sciany bocznej:

    I AO I                             ½ d

   -------- = cosα ,         -------- = cosα       ⇒      I AD₁ I · cosα  = ½ d 

    I AD₁ I                            IAD₁ I                                  d                       d            1                 d

                                                                     I AD₁ I = ----- :  cosα =  -----  · -------- = ------------

                                                                                       2                      2         cosα           2 cosα

Z Δ ADD₁  obliczamy  wysokosc  h = I DD₁I :

    h² + a² = I AD₁ I²

           d√2                      d

h² + ( --------)² = ( ----------)²

            2                   2 cosα

         2d²              d²

h² + --------- = ---------

          4                4 cos²α

             d²                2 d²

h² = -----------  - ---------

          4 cos²α           4

 

           d² - 2d² cos²α

h² = -------------------------

               4 cos²α

 

           d² ( 1 - 2 cos²α)                                        d √ (1 - 2cos²α)

h² =  ----------------------            ⇒        h = --------------------

               4 cos²α                                                     2 cosα

 

          d√2                  d √ (1-2cos²α)          2 d²              d√ (1 - 2cos²α)      d³ √ (1-2cos²α) 

V = ( ----------)² ·  ------------------- = ----------- ·  ---------------- = --------------------

           2                        2 cosα                      4                       2 cosα                 4 cosα