Question

w dany trapez można wpisać okrąg i na danym trapezie można opisać okrąg. wysokość tego trapezy poprowadzona z wierzchołka przy krótszej podstawie dzieli dłuższą podstawę na dwa odcinki. dłuższy odcinek ma długość 10 cm. oblicz obwód tego trapezu

Answer 1

Aby w trapez (lub dowolny czworokąt) można było wpisać okrąg, sumy boków przeciwległych muszą być równe. Jeśli podstawy oznaczymy przez a, b (a>b), a ramiona c, d, to musi zajść a + b = c + d. Zatem obwód wynosi 2(a+b) lub 2(c+d).

 

Aby na trapezie (czworokącie) można było opisać okrąg, sumy kątów przeciwległych muszą być równe, a więc wynosić 180°.

Jeśli oznaczymy przez α,β kąty przy podstawie a oraz przez γ,δ kąty przy podstawie b, to jeśli α + γ = 180° oraz β + δ = 180°, a także z własności trapezu, że suma kątów naprzemianległych α + δ = β + γ = 180° - wynika, że dany trapez jest równoramienny (bo np. z równań α + γ = 180° i α + δ = 180° wynika, że γ = δ, skąd prosty wniosek: α = β)

 

Oznaczmy przez x krótszy odcinek podziału dłuższej podstawy. Wówczas:

x + 10 = a

Z własności trapezu równoramiennego o podstawach a, b (a>b) wynika:

x + b + x = a   (dobrze zrobić sobie rysunek)

2x + b = a

Wstawiamy x z pierwszego równania do drugiego:

2(a - 10) + b = a

I wyliczamy interesującą nas połowę obwodu:

2a - 20 + b = a

a + b = 20

Skąd cały obwód wynosi 2(a + b) = 2 * 20 = 40

 

Odp. Obwód trapezu wynosi 40.

Answer 2

Zrób sobie rysunek trapezu .

x + 10 = a

x + b + x = a  

2x + b = a

2(a - 10) + b = a

2a - 20 + b = a

a + b = 20

2(a + b) = 2 * 20 = 40

 

Odp. Obwód trapezu wynosi 40.