Question

Uzasadnij, że zero jest ostatnią cyfrą liczby będącej wartością wyrażenia:

a)

b)

Answer 1

A)
Podnosząc 7 do kolejnych potęg można zauważyć, że ostatnia cyfra, czyli cyfra jedności powtarza się co cztery potęgi , czyli 7 będzie na końcu 7¹,7⁵,7⁹itd., 9 będzie na końcu 7²,7⁶,7¹°...więc cyfrą jedności 7⁵ będzie 7
Analogicznie sprawdzając 4 zauważymy, że podnosząc 4 do potęgi parzystej, cyfrą jedności jest zawsze 6 (4²=16,4⁴=256), a do potęgi nieparzystej - 4 (4¹=4,4³=64) Cyfrą jedności 4⁴ jest więc 6

Aby sprawdzić cyfrę jedności przy podnoszeniu 13 do kolejnych potęg, można podnosić tylko samą 3, cyfry jedności będą takie same.
Cyfry jedności przy podnoszeniu 3 do kolejnych potęg powtarzają się co cztery potęgi, czyli podobnie jak w przypadku 7. Cyfra jedności 13²¹ będzie taka sama jak cyfra jedności 13¹, ponieważ 20 jest podzielne przez 4, a więc cyfrą jedności 13²¹ jest 3.
podstawmy więc nasze cyfry do równania:
7⁵+4⁴-13²¹=...7+....6-....3=.....0
Widać to wyraźniej przy dodawaniu/odejmowaniu pisemnym
7⁵+4⁴=
........7
........6+
.......13

7⁵+4⁴-13²¹
.......13
.........3-
.........0

b)Podobnie jak w przypadku podpunktu a sprawdzamy, co która potęgę powtarza się cyfra jedności:
W przypadku 2 jest to co cztery potęgi (2¹,2⁵,2⁹...-na końcu zawsze 2)
(2²,2⁶,2¹°...-cyfra jedności to 4)
(2³,2⁷,2¹¹.... cyfra jedności to 8)
(2⁴,2⁸,2¹²,2¹⁶.... cyfra jedności to 6)
2¹⁶ - cyfra jedności to 6

Trójkę już sprawdzaliśmy w poprzednim podpunkcie i wiemy, że potęga powtarza się co 4, więc cyfra jedności 3⁴⁰ będzie taka sama jak 3⁴, czyli 1 (3⁴=81)

Z 5 jest o tyle łatwo, że podnosząc ją do dowolnej potęgi, cyfra jedności zawsze będzie równa 5

2 już sprawdzaliśmy i wiemy, że cyfra jedności 2¹⁵ będzie taka sama jak 2³, czyli 8

2¹⁶+3⁴°+5¹⁹+2¹⁵=....6+....1+....5+....8=......20

Nie wiem, czy można to jakoś uzasadnić w inny sposób ;)