Question

Uzasadnij, że wśród trapezów równoramiennych, w których suma długości wysokości i dłuższej podstawy jest równa 20 oraz kąt ostry ma miarę 45°, największe pole ma ten, którego ramiona mają długość 5√2.
Potrzebne do 11:00!

Answer 1

Oznaczenia jak na rysunku
a + h = 20
alfa = 45 st

P = 1/2(a+b)*h
a = 20-h
P = 1/2( 20-h + b)*h

tg alfa = h/n
tg 45 st = h/n
1 = h/n
n = h
b = a - 2n = a - 2h = 20-h - 2h = 20 - 3h

P = 1/2(20-h + 20-3h)*h = 1/2(40-4h)h = (20-2h)h = -2h^2+20h = f(h)
Jest to f. kwadratowa o ramionach zwróconych w dół gdyż współczynnik przy h^2 jest ujemny. Pole będzie maksymalne dla :
h = -b/2a = -20/[2*(-2)] = 5
h = n = 5

Z trójkąta prostokątnego o bokach n , h , x :
n^2 + h^2 = x^2
5^2 + 5^2 = x^2
x^2 = 2*5^2
x = 5√2 c.n.d.