Question

Uzasadnij, że kwadrat wysokości, poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego w trójkacie prostokątnym, równa sie iloczynowi długosci odcinków na jakie dzieli się ta wysokość przeciwprostokatna.

Answer 1

F^2+h^2=b^2
h^2+e^2=a^2
(e+f)^2=a^2+b^2
Całość rozwiązujemy jako układ równań.
Pierwsze dwa sumujemy:
f^2+h^2+h^2+e^2=a^2+b^2
(e+f)^2=a^2+b^2 //(e+f)^2 rozpisujemy ze wzoru skróconego mnożenia. Daje nam to taką postać:
e^2+2ef+f^2=a^2+b^2
Odejmujemy stronami:
f^2-f^2+2*(h^2)+e^2-e^2-2ef=a^2-a^2+b^2-b^2
Po skróceniu otrzymujemy postać:
2(h^2)-2ef=0 // Przenosimy -2ef na drugą stronę i dzielimy obustronnie przez 2:
h^2 = ef

Answer 2

Witam. Bardzo prosto to udowodnić: zrób rysunek i zauważ, że powstałe z podziału trójkąty są do siebie podobne (także są podobne do tego największego). Dlaczego? Ponieważ mają jednakowe kąty. W trójkątach (czy innych figurach) podobnych odpowiednie długości odcinków mają stały stosunek, zwany skalą podobieństwa. Jeśli oznaczymy przez x, y - długości odcinków powstałych w wyniku podziału przez wysokość, to możemy zapisać zależność podobieństwa:
h:x = y:h
Jeśli znasz trygonometrię, to stosunki te są tangensem tego samego kąta, ale to nie jest konieczne do rozwiązania.
Równanie możemy przekształcić następująco:
h² =xy
a to mieliśmy udowodnić.