Uzasadnij, że jeżeli liczby a i b spełniają warunki a>1 i b.... Question from @Bumka

Milena233 Mamy uzasadnić, że jeśli a>1 i b<1, to ab+1<a+b.

Niech a>1, b<1

Przekształcamy równoważnie:
ab+1<a+b
ab+1-a-b<0
ab-b+1-a<0
b(a-1)-(a-1)<0
(a-1)(b-1)<0

Skoro a>1, to a-1>0.
Skoro b<1, to b-1<0.
Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, zatem (a-1)(b-1)<0.

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, a przekształcenia równoważne, więc teza również jest prawdziwa.

1 votes Thanks 0

NiedzielnyMatematyk Mamy daną nierówność $ab + 1\ \textless \ a + b$ . Przekształćmy ją nieco:
$ab + 1\ \textless \ a + b \quad\Leftrightarrow\quad ab \ \textless \ a + b -1 \quad\Leftrightarrow\quad ab -b \ \textless \ a -1 \quad\Leftrightarrow\quad \\ \quad\Leftrightarrow\quad b(a-1) \ \textless \ a-1$

Wiemy, że $a\ \textgreater \ 1$ , czyli w szczególności $a \neq 1$ . Więc $a-1$ jest na pewno dodatnie. Więc możemy podzielić obie strony przez to wyrażenie. Otrzymujemy:
$b(a-1) \ \textless \ a-1\quad\Leftrightarrow\quad b\ \textless \ 1$

Ale z założenia wiemy, że ta nierówność jest prawdziwa. Zatem nierówność $ab + 1\ \textless \ a + b$ zachodzi dla dowolnych liczb $a\ \textgreater \ 1$ i $b\ \textless \ 1$ .

4 votes Thanks 0

Oblicz sumę 32 początkowych wyrazów ciągu (an), którego wzór podano poniżej (-1) dla n parzystych an= 2n - 2 dla n nieparzystych

Ze zbiorów x={1, 2, 3, 4, 5} i y={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6

Liczby -5, -2, 1 są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu o numerach dwucyfrowych.

Funkcja f dana jest wzorem f(x)= -2x + 1. Rozwiąż równanie f(x+2)= 4x-5

Liczba naturalna n przy dzieleniu przez 3 daje reszte 2. Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 6

Dany jest prostopadłościan ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz prostopadłych do nich krawędziach AE, BF, CG, DH taki, że |AB|=8, |BC|=15. Ponadto pole trójkąta BDE jest równe 85. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BC. Punkt K dzieli bok DC na połowę. Połączono punkt K z wierzchołkami A i B. Udowodnij, że kąt AKB jest prosty.

W trójkącie ABC boki AC i BC mają długości |AC|= , |BC|= 8, a kąt przy wierzchołku C ma 120°. Oblicz długość boku AB

Dana jest nierówność . Wyznacz maksymalny przedział domknięty, którego końce są liczbami całkowitymi, zawarty w zbiorze rozwiązań tej nierówności.

Ciąg (an) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym określonym dla n ≥ 1. Suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa 8, a różnica trzeciego i pierwszego wyrazu jest równa 16. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social