Uzasadnij, że iloczyn:a) trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6,b) trzech kolejny.... Question from @Adiwiu

June 2022 1 11 Report

Uzasadnij, że iloczyn:
a) trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6,
b) trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 48,
c) czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 24.

Jak postępować w przypadku takich zadań na dowodzenie (uzasadnij, udowodnij, wykaż)?

Gharic

Verified answer

Cześć!

Przykład a)

Trzy kolejne liczby naturalne to $n$ , $n+1$ , $n+2$ , oczywiście dla $n \in \mathbb{N}$ . Zatem iloczyn tych liczb to:

$n(n+1)(n+2)$

Skoro wiemy, że te liczby są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi, to na pewno przynajmniej jedna będzie liczbą parzystą, a w konsekwencji podzielną przez 2. Co więcej, na pewno tylko jedna z nich będzie również podzielna przez 3, zatem skoro iloczyn jest podzielny przez 2 i 3, to na pewno jest podzielny przez $2 \cdot 3 = 6$ , co kończy dowód.

Przykład b)

Trzy kolejne liczby parzyste to $2n$ , $2n+2$ , $2n+4$ , dla $n \in \mathbb{Z}$ Iloczyn tych liczb to:

$2n(2n+2)(2n+4) = 2n\cdot 2(n+1)\cdot 2(n+2) = 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot n(n+1)(n+2) =\\\\= 8n(n+1)(n+2)$

Widzimy, że $n(n+1)(n+2)$ to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Podobnie jak wcześniej, na pewno przynajmniej jedna jest liczbą parzystą, czyli podzielną przez 2, a na dodatek tylko jedna z nich będzie podzielna przez 3. Skoro iloczyn jest podzielny przez 2, 3 i 8, to na pewno jest podzielny przez $2 \cdot 3 \cdot 8 = 6\cdot 8 =48$ , co kończy dowód.

Przykład c)

Cztery kolejne liczby naturalne to $n$ , $n+1$ , $n+2$ , $n+3$ i $n \in \mathbb{N}$ . Zatem iloczyn tych trzech liczb to:

$n(n+1)(n+2)(n+3)$

Wśród czterech kolejnych liczb naturalnych na pewno jedna jest podzielna przez 2, a także inna, podzielna przez 4. Ponadto wśród tych liczb na pewno znajdziemy liczbę podzielną przez 3. Zatem skoro iloczyn jest podzielny przez 2,3,4, to na pewno jest podzielny przez $2\cdot 3 \cdot 4 = 24$ , co kończy dowód.