Question

Uzasadnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 48

Answer 1

Odpowiedź:

Jeśli wśród trzech kolejnych liczb całkowitych jest 0, to ich iloczyn jest równy 0, czyli jest podzielny przez 48.

Wśród każdych trzech kolejnych liczb całkowitych bez 0, jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest podzielna przez 4 (a pozostałe dwie są podzielne przez 2).  

Zatem iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych parzystych możemy zapisać jako: 4·2·2·3·a·b·c, gdzie a, b i c, są liczbami całkowitymi, będącymi iloczynami pozostałych czynników z danych liczb.

4·2·2·3·a·b·c = 48abc = 48k (gdzie k=abc jest liczbą całkowitą)

Skoro jednym z czynników w iloczynie trzech kolejnych liczb parzystych jest 48, to jest on jest podzielny przez 48.

Co należało uzasadnić.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Jeśli przyjrzymy się kolejnym liczbom całkowitym różnym od 0:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24,...

To widać, że co trzecia z nich jest podzielna przez 3 (podkreślone), a co czwarta jest podzielna przez 4 (pogrubione).

Jeśli do liczby podzielnej przez n {n·k, gdzie k jest całkowite} dodajemy n, to suma nadal jest podzielna przez n {n·k+n=n·(k+1)}, czyli powyższa zasada będzie prawdziwa bez względu na to jak duże, czy jak małe (ujemne) liczby całkowite analizujemy.

Jeśli usuniemy z nich liczby nieparzyste, to zostaną nam:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,...

Nadal co trzecia będzie podzielna przez 3. Natomiast co druga będzie podzielna przez 4, więc bez względu na to, które trzy kolejne wybierzemy, jedna z nich będzie podzielna przez 3 oraz co najmniej jedna będzie podzielna przez 4, a pozostałe dwie są podzielne przez 2.