Question

Usuwanie niewymierności z mianownkia.

Mam poszukać sposobu, aby z mianownika zrobić liczbę wymierną. W internecie jest wytłumaczone, ale niezbyt zrozumiale jak dla mnie. Jeśli umiecie wytłumaczyć to na 'chłopski rozum', to proszę o pomoc. Dziękuję.

Answer 1

Jeżeli w mianowniku znajduje sie pojedynczy pierwiastek, np.

mnożysz licznik i mianownik przez ten właśnie pierwiastek.

Jeśli jednak jest to np. mnożysz licznik i ułamek poprzez dodanie do wyrażenia znajdującego się w mianowniku z przeciwnym znakiem  2

 

Mam nadzieję,że choć trochę pomogłam :)

Answer 2

Mając w mianowniku pierwiastek, musimy wykonać działanie, po którym sobie "zniknie". Najprostszy przypadek - w mianowniku mamy tylko pierwiastek.

 

licznik 3

mianownik √2

W tej sytuacji rozszerzamy ułamek przez dany pierwiastek, tj. mnożymy przez niego i licznik, i mianownik. Otrzymujemy:

licznik 3·√2

mianownik √2·√2

a więc

licznik 3√2

mianownik 2.

 

licznik 3

mianownik 2√2

Przypadek niewiele różniący się od pierwszego. Również teraz rozszerzamy ułamek przez pierwiastek.

licznik 3·√2

mianownik 2√2·√2

a więc

 

licznik 3√2

mianownik 2·2

 

co daje

licznik 3√2

mianownik 4.

 

licznik 3

mianownik √2+√5

Tym razem  jest trochę trudniej. Nie możemy rozszerzyć ułamka przez sumę z mianownika. Byłoby to bez sensu, gdyż otrzymalibyśmy

licznik 3√2+3√5

mianownik 2+2√10+5,

a nie chodzi nam o to, żeby utrudnić sobie życie jeszcze bardziej. Korzystamy więc ze wzoru skróconego mnożenia na iloczyn sumy z różnicą, czyli (a+b)(a-b)=a²-b². Krócej mówiąc, rozszerzamy ułamek przez różnicę  tych samych liczb, których sumę mamy w mianowniku (nie muszą to być, jak w przykładzie, dwa pierwiastki - obok pierwiastka możemy mieć w sumie także zwykłą liczbę).

licznik 3(√2-√5)

mianownik (√2+√5)(√2-√5)

a więc

licznik 3√2-3√5

mianownik 2-5

co daje

licznik 3√2-3√5

mianownik -3.

 

Z kolei jeśli w mianowniku mamy różnicę, ułamek rozszerzamy przez sumę.

licznik 3

mianownik √7-√3

a więc

licznik 3(√7+√3)

mianownik (√7-√3)(√7+√3)

co daje

licznik 3√7+3√3

mianownik 7-3

a w efekcie otrzymujemy

licznik 3√7+3√3

mianownik 4.

 

Mam nadzieję, że pomogłam.

Jeśli nadal czegoś nie rozumiesz, pisz, postaram się wyjaśnić nieco lepiej :)