Question

Una barda de h pies de altura corre paralela a un edificio alto y a w pies de él. Encuentre la longitud de la escalera más corta que llegue del suelo hasta la pared del edificio, pasando por encima de la barda.

Answer 1

Verified answer

Una barda de h pies de altura corre paralela a un edificio alto y a w pies de él. La longitud de la escalera mas corta es: 16,65 pies  

Explicación:

Completando el enunciado:

Una barda de 8 pies de altura corre paralela a un edificio alto, a una distancia de 4 pies de este ultimo. ¿Cual es la longitud de la escalera mas corta que llegara desde el suelo, pasando por encima de la barda, hasta la pared del edificio?

Datos:

a = 8 pies

b: distancia entre la pared y la cerca  

b = 4 pies

Angulo que forma el piso con la escalera.  

 Los tramos auxiliares de la escalera: "x" e "y".  

La longitud "L" de la escalera (nuestra magnitud a minimizar) será entonces:  

L = x + y (I)

senα = a / x ⇒ x = a / sen α (II)  

cos α = b / y ⇒y = b / cos α (III)  

Y de (II) y (III) en (I) tendremos:  

L(α) = (a / senα) + (b / cos α) (IV)  

Derivaremos esta expresión para obtener su mínimo:  

L '(α) = -(a cos α)/(sen² α) + (b sen α)/(cos² α)  

 L '(α) = (b sen³ α - a cos³ α) / (cos α* sen α)²

Para hallar el mínimo de la función planteamos:  

L '(α) > 0⇒ (b sen³α - a cos³ α) > 0

b sen³ α > a cos³ α ⇒ tan³ α > (a/b)  

tan Ø > (a/b)^(1/3)  

La desigualdad anterior nos informa que:  

 si α es mayor que el valor calculado es creciente

 si α es menor que el valor calculado es decreciente  

Angulo que genera la escalera más corta.:

 α = arctan[(a/b)^(1/3) es el  

Finalmente, recordando que:  

cosα = 1 / √(1 + tan² α)  

senα = (tan α) /√(1 + tan²α)  

Tendremos:  

L = √(1 + tan² α)  [ (a/tanα) + b]  

Como:  

a = 8  

b = 4  

tan α = (a/b)^(1/3) = 2^(1/3)  

L = 16,65 pies