Question

Un cajón de un armario contiene 42 calcetines azules, 9 calcetines blancos,19 calcetines negros y 12 verdes.

Un segundo cajón contiene 14 calcetines azules, 42 calcetines blancos, 30verdesy 20 calcetines negros.

Un tercer cajón contiene 24 calcetines azules, 15 calcetines blancos, 42 verdes y 42 calcetines negros.

A) Un calcetín es escogido al azar de cada cajón. ¿Cuál es la probabilidad de que el trio tenga el mismo color?

B) En el caso de que todos los calcetines estén en un solo cajón, si se toman tres calcetin es al azar¿Cuál es la probabilidad de que el trio de calcetines no tengan todos el mismo color?

Answer 1

II Concurso de Resoluci´on de Problemas Curso 2011-2012 Soluci´on del Problema no2. Esta es una variaci´on del problema del caj´on de un armario lleno de calcetines completamente desorganizados. En dicho problema existe una cantidad determinada de calcetines de diversos colores, y se quiere determinar la probabilidad de que al elegir dos calcetines al azar sean del mismo color. En esta variaci´on del problema, s´olo sabemos que existen calcetines de dos colores, blancos y negros, y que la probabilidad de sacar dos calcetines blancos es 1 2 . 1. La primera cuesti´on es determinar cu´al es la cantidad m´ınima de calcetines de cada color que debe haber en el caj´on para que esto suceda. 2. La segunda cuesti´on es determinar cu´al es la cantidad m´ınima de calcetines que debe haber para que el n´umero de calcetines negros sea par. Soluci´on: Sea B : N´umero de calcetines blancos en el caj´on N : N´umero de calcetines negros en el caj´on Sacar 2 calcetines blancos a la vez es equivalente a sacar sucesivamente y sin reposici´on dos calcetines y que estos sean blancos Si definimos el suceso Bk : Sacar un calcet´ın blanco en la k–´esima extracci´on el enunciado del problema nos indica que P (B1 ∩ B2) = 1 2 Utilizando la f´ormula de la probabilidad condicionada P (B1 ∩ B2) = P (B1) · P (B2| B1 ) La probabilidad de sacar un calcet´ın blanco en la primera extracci´on es utilizando la definici´on cl´asica de probabilidad como la raz´on entre casos favorables y posibles, obtenemos P (B1) = B N + B Si hemos sacado un calcet´ın blanco en la primera extracci´on, tendremos un calcet´ın blanco menos , pero tambi´en un calcet´ın menos en total, luego P (B2| B1 ) = B − 1 N + B − 1 y llegamos a la conclusi´on P (B2| B1 ) = B N + B · B − 1 N + B − 1 = B (B − 1) (B + N) (B + N − 1) Esta probabilidad es conocida e igual a 1 2 , por tanto B (B − 1) (B + N) (B + N − 1) = 1 2 o de forma equivalente 2B (B − 1) = (B + N) (B + N − 1) Si efectuamos las operaciones obtendremos 2B 2 − 2B = B 2 + BN − B + NB + N 2 − N y pasando todo al primer miembro de la igualdad resulta B 2 − (1 + 2N) B + N − N 2 = 0 que es una ecuaci´on de segundo grado en B (o en N), cuyas soluciones son B = (1 + 2N) ± q (1 + 2N) 2 − 4 (N − N2 ) 2 = (1 + 2N) ± √ 1 + 8N2 2 (1) es decir B+ = (1+2N)+√ 1+8N2