Question

Udowodnij, ze dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y spełniona jest nierówność 2x^2 -2xy + y^2 > 2x -2.

Answer 1

Użyjemy wzoru skróconego mnożenie 2 razy

[tex]a^2-2ab+b^2=(a-b)^2[/tex]

[tex]2x^2-2xy+y^2 > 2x-2[/tex]

[tex]x^2+x^2-2xy+y^2 > 2x-2[/tex]

[tex]x^2+(x-y)^2 > 2x-2[/tex]

[tex]x^2+(x-y)^2-2x+2 > 0[/tex]

[tex](x-y)^2+x^2-2x+1+1 > 0[/tex]

[tex](x-y)^2+(x-1)^2+1 > 0[/tex]

[tex](x-y)^2\ge0\quad\quad(x-1)^2\ge0\quad\quad1 > 0[/tex]

[tex](x-y)^2+(x-1)^2\ge0[/tex]

[tex](x-y)^2+(x-1)^2+1\ge1[/tex]

Jeżeli lewa strona jest większa lub równa 1, to tym bardziej jest większa od 0.