Question

Udowodnij tozsamosci:
(sin³α+cos³α)÷(sinα+cosα)=1-sinα*cosα
sin⁴α+cos⁴α-sin⁶α-cos⁶α=sin²α*cos²α

Answer 1

Zad. 1
Tożsamość:
(sin³α+ cos³α)/(sinα+ cosα)= 1-sinα*cosα

LEWA strona= (sin³α+ cos³α)/(sinα+ cosα)=
{korzystamy z wzoru skróconego mnożenia
a³+ b³= (a+ b)(a²- ab+ b²)
sin³α+ cos³α= (sinα+ cosα)*(sin²α- sinαcosα+ cos²α)}
= [(sinα+ cosα)*(sin²α- sinαcosα+ cos²α)]/(sinα+ cosα)=
{skracamy przez licznik i mianownik ułamka przez (sinα+ cosα)
i korzystamy z jedynki trygonometrycznej sin²α+ cos²α= 1}
= sin²α- sinα*cosα+ cos²α = sin²α+ cos²α- sinα*cosα=
1- sinα*cosα= PRAWA strona

Zad. 2
Tożsamość:
sin⁴α+ cos⁴α- sin⁶α- cos⁶α= sin²α*cos²α
LEWA strona= sin⁴α+ cos⁴α- sin⁶α- cos⁶α=
sin⁴α- sin⁶α+ cos⁴α- cos⁶α=
{wyłączamy sin⁴α i cos⁴α przed nawias}
= sin⁴α*(1- sin²α)+ cos⁴α*(1- cos²α)=
{korzystamy z jedynki trygonometrycznej sin²α+ cos²α= 1,
sin²α= 1- cos²α, cos²α= 1- sin²α}
= sin⁴α*cos²α+ cos⁴α*sin²α=
{wyłączamy sin²α*cos²α przed nawias}
= sin²α*cos²α(sin²α+ cos²α)= sin²α*cos²α* 1=
sin²α*cos²α= PRAWA strona