Question

Udowodnij, że:

a)różnica 51^2-51^6 jest podzielna przez 50, 150 i 17

b) suma 26^7+26^8 jest podzielna przez 27, 54 i 13

c) liczba 7^7-7^6+7^5 jest podzielna przez 43

d) liczba 4^9+4^8+4^6 jest podzielna przez 81

e) liczba 3^12-2^12 jest podzielna przez 35 i 19

f) liczba 13^8-7^8 jest podzielna przez 12, a cyfrą jedności tej liczby jest 0.

Oczywiście x^n to x do potęgi n. Bardzo proszę nie tyle o odpowiedź, co o wytłumaczenie mi tego bo mimo usilnych starań nie moge tego zrozumieć. Proszę tylko o rzeczowe odpowiedzi, jeśli ktoś chce wpisać cokolwiek aby zdobyć punkty - radzę sobie odpuścić.

Proszę o pomoc!

Answer 1

a/

wylaczam wspolny czynnik przed nawias

51^2 - 51^6 = - 51^2 (51^4 - 1) =

korzystam ze wzoru na roznice kwadratow

-51^2 (51^2 + 1)(51^2 -1) =

i jeszcze raz

-51^2 (51^2 + 1)(51-1)(51+1) = -(3*17)^2 (51^2-1)(50)(52)

podzielne przez 17, bo pierwszy nawias podzileny przez 17 (wiec caly iloczyn tez)

podzielne przez 50, bo trzeci nawias podz. przez 50

podzielne przez 150, bo pierwszy nawias podz przez 3, a trzeci nawias podz. przez 50 wiec razem 3*50 = 150

 

b/

wylaczam wspolny czynnik przed nawias

26^7+26^8 = 26^7(26+1) = (13*2)^7 * 27

podzielne przez 27, bo wsrod czynnikow wystpeuje 27

podzielne przez 54, bo wsrod czynnikow wystpeuje 27, a pierwszy nawias podz. przez 2, a 2* 27 = 54

podzielne przez 13, bo pierwszy nawias podzileny przez 13

 

c/

wylaczam wspolny czynnik przed nawias

7^7-7^6+7^5 = 7^5 (49-7+1)=7^5 * 43  wiec jest podzielne przez 43

d/

wylaczam wspolny czynnik przed nawias

4^9+4^8+4^6 = 4^6 (64+16+1) = 4^6 * 81 wiec jest podzielne przez 43

 

e/

korzystam ze wzoru na roznice kwadratow

3^12-2^12 = (3 ^ 6)^2 - (2 ^ 6)^2 = ( 3^6 + 2^6 ) (3^6 - 2^6) =

i jesczcze raz

( 3^6 + 2^6 ) (3^3 - 2^3)(3^3 + 2^3) = ( 3^6 + 2^6 ) (3^3 - 2^3) * (3^3 + 2^3)=

( 3^6 + 2^6 ) (27 - 8) * (27+8) =( 3^6 + 2^6 ) *19 * 35

wiec iloczyn jest podzielny przez 19 i przez 35

 

e/

korzystam ze wzoru na roznice kwadratow

13^8-7^8 = (13^4-7^4)(13^4+7^4)

i jeszcze raz

(13^4+7^4)(13^2+7^2)(13^2-7^2)

i jeszcze raz

(13^4+7^4)(13^2+7^2)(13+7)(13-7)=(13^4+7^4)(13^2+7^2)*20*6=

(13^4+7^4)(13^2+7^2)*10*12

wiec jest podzielny przez 12 i jest podzielny przez 10 wiec cyfra jdnosci jest 0