Question

Udowodnij, że xy + xz + zy jest mniejsze lub równe 0 przy założeniu że x + y + z = 0

Answer 1

(x + y + z) = 0 ⇔ (x + y + x)² = 0² 
                                ☟
       x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0

x² + y² + z² ≥ 0 zawsze !!!
                +☟                    _
     (x² + y² + z²) + 2(xy + xz + yz) = 0  ⇔ (+) + (-)=0
                                - ☝
            2(xy + xz + yz) ≤ 0 zawsze !!! przy  x + y + z = 0
                           ☟
             (xy + xz + yz) ≤ 0 zawsze !!! przy  x + y + z = 0

Answer 2

1. xy + xz + yz < 0  /*2
2xy + 2xz + 2yz < 0
(x+y)2 - x2 - y2 + (x+z)2 - x2 - z2 + (y+z)2 - y2 - z2 < 0
(x+y)2 + (x+z)2 + (y+z)2 < 2x2 + 2y2 + 2z2
2. 
x + y + z = 0
(x + y + z)2 = 0
x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz +2 yz = 0
(x+y)2 + (x+z)2 + (y+z)2 - x2 - z2 - y2 = 0
(x+y)2 + (x+z)2 + (y+z)2 = x2 + z2 + y2
3. podstawiam
x2+ z2 + y2 < 2x2 + 2y2 + 2z2
x2 + y2 + z2 > 0
c.n.d.