Question

Udowodnij, że okrąg można wpisać w trapez równoramienny bądź prostokątny tylko wtedy gdy a+b=c+d.

Answer 1

Jest tak dlatego, że okrąg ten musi stykać się z wszystkimi bokami. Np. gdy bok a=15cm, c=30, b=5cm, d=5cm, to okrąg nie może zostać wpisany w taki trapez. Jest to to zasada dot. wpisywania okręgów w czworokąty.

Answer 2

Jeżeli okrąg jest wpisany w trapez, to jest on styczny do boków
trapezu {czyli promień jest prostopadły do danego boku w punkcie
styczności}
wysokość trapezu h będzie równa średnicy okręgu (średnica
to suma dwóch promieni},
czyli h = 2r
Łącząc środek okręgu z wierzchołkami trapezu, otrzymamy cztery
trójkąty:
pierwszy trójkąt: podstawa dolna trapezu a i wysokość r,
drugi trójkąt: podstawa górna trapezu h i wysokość r,
trzeci trójkąt: ramię trapezu c i wysokość r,
czwarty trójkąt: ramię trapezu d i wysokość r
{wysokości są o długości promienia okręgu r, bo promienie są prostopadłe do odpowiednich boków trapezu}
Obliczamy pola tych trójkątów:
pole pierwsze: ½ar
pole drugie: ½br
pole trzecie: ½cr
pole czwarte: ½dr
Pole trapezu P = ½(a+b)*(2r)
i jest ono równe sumie pól czterech trójkątów:
½ar + ½br+ ½cr+½dr = ½r(a+b+c+d)
Mamy:
½(a+b)*(2r) = ½r(a+b+c+d) {obie stron dzielimy przez r}
a+b = ½(a+b+c+d) /*2
2a+2b=a+b+c+d
stąd
a+b = c+d
co należało udowodnić.
Odp. Okrąg można wpisać w trapez równoramienny, bądź prostokątny tylko wtedy, gdy a+b = c+d.