Question

Udowodnij że liczba √3 jest liczbą niewymierną.

Answer 1

Załóżmy, że √3 jest liczbą wymierną , zatem √3 = a/b , gdzie a,b - liczby

naturalne.

Zatem po podniesieniu do kwadratu otrzymamy

3 = a²/b²  czyli  a² = 3 * b²

a *a = 3 *b*b

Po lewej stronie nie ma trójek lub jest ich parzysta ilość , natomiast po

prawej stronie równości zawsze jest nieparzysta ilość trójek ( jedna lub więcej).

Zatem te liczby nie moga być równe.założenie o wymierności √3 doprowadzilo

do sprzeczności.Dlatego też √3 jest liczbą niewymierną.

===============================================

Answer 2

rozważmy wielomian f(x)=x²-3

wszystkie możliwe pierwiastki wymierne sa ze zbioru(+1;-1;+3;-3), jednak dla żadnej z tych liczb wielomian się nie zeruje, a możemy go zapisać w postaci

f(x)=(x+√3)(x-√3), wiec rzeczywiście √3 to liczba niewymierna

 

inaczej:

załózmy,że istnieje ułamek nieskracalny p/g=√3

podnoszac obie strony do kwadratu:

p²/q²=3, tzn, p²=3q²

przypusćmy,że p i q rozłożyliśmy na czynniki pierwsze

po lewej stronie równania, czynnik 3 nie wystepuje wcale, lub wystepuje parzystą liczbe razy

po praswej stronie wystepuje w iloczynie :3 razy q razy q

jesli w liczbie q wystepuje czynnik 3, to w iloczynie 3q razy q wystepuje nieparzystą ilośc razy

jesli w q nie wystepuje czynnik 3, to w 3 razy q razy q czynnik 3 wystepuje nieparzystą liczbe razy, więc p razyp≠3 razy q razy q

 

założenie prowadzi do sprzeczności, więc √3 nie jest liczbą wymierną