Udowodnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x prawdziwa jest nierówność 4(x³+x+1)≤ (x²+1)(x²+5).... Question from @Mikael2

Mikael2 @Mikael2

June 2022 2 7 Report

Udowodnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x prawdziwa jest nierówność
4(x³+x+1)≤ (x²+1)(x²+5)

hanka

Verified answer

$4(x^3+x+1) \le (x^2+1)(x^2+5)$

$4x^3+4x+4 \le x^4+5x^2+x^2+5$

$4x^3+4x+4-x^4-5x^2-x^2-5 \le 0$

$- x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x - 1 \le 0$

$-x^4+x^3+3x^3-3x^2+3x+x-1 \le 0$

$-x^3(x-1)+3x^2(x-1)-3x(x-1)+x-1 \le 0$

$(x-1)(-x^3+3x^2-3x+1) \le 0$

$-(x-1)(x^3-3x^2+3x-1) \le 0$

$-(x-1)(x-1^3\le 0$

$-(x-1)^4 \le 0\ \ \ |:(-1)$

$(x-1)^4 \ge 0$

Czwarta potęga dowolnej liczby jest liczbą nieujemną.

0 votes Thanks 0

Tabiaszcz

Verified answer

$4(x^3+x+1)\leq (x^2+1)(x^2+5)\\
\\
4x^3+4x+4\leq x^4+6x^2+5\\
\\
4x^3+4x+4-x^4-6x^2-5\leq 0\\
\\
-x^4+4x^3-6x^2+4x-1\leq 0\\
\\
$

Dzielę wielomian przez x-1, bo x=1 zeruje powyższy wielomian:

$(-x^3+3x^2-3x+1)(x-1)\leq 0$

Podobnie jak wcześniej, pierwszy czynnik - wyrażony wielomianem trzeciego stopnia również zeruje się dla x=1, wobec czego ponawiam procedurę dzielenia:

$(-x^2+2x-1)(x-1)^2\leq 0\\
\\
-(x^2-2x+1)(x-1)^2\leq 0 |\cdot(-1)\\
\\
(x-1)^2\cdot(x-1)^2\geq 0\\
\\
(x-1)^4\geq 0\\
\\
x\in R$

Zatem zależność ta jest prawdziwa.

0 votes Thanks 0

About Us

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Verified answer

Verified answer

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social