Question

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej prawdziwy jest wzór:

1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1)

Answer 1

Lewa strona to ciąg arytmetyczny.

a₁=1

an=4n-3

Sn=(a₁+an)n/2

Sn=(1+4n-3)n/2

Sn=(4n-2)n/2

Sn=(2n-1)n

 

(2n-1)n=n(2n-1)

 

 

Za pomocą indukcji:

Sprawdzam równanie dla n=1

1=1(2*1-1)

1=1*1

1=1 <-- jest prawdziwe

 

Zakładam że jest prawdziwe dla pewnej liczby k≥1

1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)

 

Udowadniam prawdziwość równania dla k+1 korzystając z założenia

1+5+9+...+(4k-3)+(4(k+1)-3)=(k+1)(2(k+1)-1)

1+5+9+...+(4k-3)+(4k+1)=(k+1)(2k+1)

1+5+9+...+(4k-3)+(4k+1)=2k²+k+2k+1

1+5+9+...+(4k-3)+(4k+1)=2k²+3k+1

 

k(2k-1)+(4k+1)=2k²+3k+1

2k²-k+4k+1=2k²+3k+1

2k²+3k+1=2k²+3k+1