Question

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność: a^4+b^4>=a^3b+ab^3

Answer 1

Teraz ze wzoru skróconego mnozenia rozbijamy pierwszy nawias różnicą sześcianów i mamy :


pierwszy nawias jest zawsze dodatni lub zerowy, bo kwadrat różnicy dwóch dowolnych liczb R jest nieujemny, natomiast w drugim jest następująca sytuacja :
Mamy:


Możemy to zapisać za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, lecz wzór ten wygląda nastepująco:

Czyli należy dodać do niego jedno ab
więc:


Teraz widzimy ze kwadrat różnicy nigdy nie bedzie ujemny, a iloczyn ab jest dodatni, ponieważ iloczyn dwóch dowolnych R liczb DODATNICH jest dodatni, więc całe wyrażenie:


nigdy nie bedzie ujemne.
#