Question

Udowodnic, ze jezeli 2 lub 3 nie sa dzielnikami n, to n^2-1 jest podzielne przez 24

Answer 1

1)

Jezeli n jest nieparzyste, to mozemy zapisac liczbe n w postaci n=2k+1, k∈N

 

(2k+1)²-1=4k²+4k+1-1=4k(k+1)=8m

Poniewaz liczba k lub k+1 jest parzysta, to ten iloczyn jest podzielny przez 8

2)

Jezeli liczba n nie jest podzielna przez 3, to mozemy zapisac liczbe n

w postaci n=3k+1 lub n=3k+2

(3k+1)²-1=9k²+6k+1-1=9k²+6k=3m  liczba ta jest podzielna przez 3

(3k+2)^2-1=9k²+12k+4-1=3(3k²+4k+1) podzielna przez 3.

 

Skoro liczba n^2-1 jest podzielna przez 3 i przez 8, to jest podzielna przez 3*8=24.

 

 

Answer 2

z treści zadania wynika, że zarówno 2 nie może być dzielnikiem n i 3 nie może być dzielnikiem liczby n, czyli na pewno 6 nie będzie dzielnikiem liczby n

 

zapiszmy n jako wynik dzielenia przez 6 z kolejnymi resztami

n = 6k +1

n= 6k +2 - odpada, gdyż jest podzielna przez 2

n = 6k +3 - odpada, gdyż jest podzielna przez 3

n = 6k +4 - odpada, gdyż jest podzielna przez 4

n = 6k +5

 

1)

 

 

w przypadku gdy k jest liczbą parzystą (czyli podzielną przez 2), wtedy cały ten iloczyn jest liczbą podzielną przez 24 ( bo 12 * 2 =24)

w przypadku gdy k jest liczbą nieparzystą, wtedy 3k również jest liczbą nieparzystą, wtedy 3k+1 jest liczbą parzystą - wtedy cały ten iloczyn jest liczbą podzielną przez 24

2)

 

 

w przypadku gdy k jest liczbą parzystą, wtedy 12k(3k+5) jest liczbą podzielną przez 24 - wtedy suma 12k(3k+5) + 24 jest liczbą podzielną przez 24

w przypadku gdy k jest liczbą nieparzystą, wtedy 3k również jest liczbą nieparzystą, wtedy 3k+5 jest liczbą parzystą, wtedy iloczyn 12k(3k+5) jest liczbą podzielną przez 24, czyli 12k(3k+5) + 24 jest podzielne przez 24