Question

Trzy okręgi o promieniu długości r są styczne zewnętrznie, każdy do dwóch pozostałych. Wyznacz długość boków i miary kątów trójkąta utworzonego przez punkty styczności.

Answer 1

O1,O2,O3 -środki okręgów o promieniach długości r stycznych zewnętrznie.

Mamy O1O2 = O2O3 = O1O3 = 2r

Niech K środek odcinka O1O2, L - środek odcinka O2O3,M - środek odcinka O1O2

Mamy

ΔO1O2O3  jest równoboczny

oraz

KO2/O1O2 = r/(2r) = 1/2  oraz O2L /O2O3 = r/(2r) = 1/2

zatem odcinek Kl jest równoległy od odcinka O1O3

Z Tw, Talesz mamy

KL/O1O3 = r/(2r) = 1/2

czyli KL /(2r) = 1/2  --> KL = r

Analogicznie wykazujemy, że LM = r oraz KM = r

czyli Δ KLM jest równoboczny o bokach długości r o katach 60 stopni.

================================================================