Question

Trzy liczby tworzą rosnący ciąg geometryczny o sumie równej 31. jednocześnie są one odpowiednio równe pierwszemu, drugiemu i siódmemu wyrazowi ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Answer 1

(x, y, z) - ciag geometryczny

(x, x+r, x+6r) - ciag arytmetyczny

Na podstawie tresci mamy:

  x + y + z = 31,          y = x+r,    z = x+6r

 x + x+r + x+6r = 31

 3x + 7r = 31

Korzystajac z wlasnosci ciagu geometrycznego mamy:

y² = xz

(x+r)² = x( x + 6r)

x² + 2xr + r² = x² + 6xr

r² = 4xr    /:r

r =4x

Podstawiajac te wartosc r do poprzedniego rownania mamy:

3x + 7 · 4x = 31

3x + 28x = 31

31x = 31     ⇒ x = 1

r = 4· 1 = 4

y = x+r = 1 + 4 = 5

z = x + 6r = 1 + 6· 4 = 25

Odp.  Szukane liczby to:  1, 5, 25.