Question

Trzy liczby tworzą rosnący ciąg arytmetyczny.Jeżeli pierwszą z nich zwiększymy o 1, to otrzymamy ciąg geometryczny. Jeżeli drugi wyraz otrzymanego ciągu geometrycznego pomnożymy przez 2, a trzeci zwiększymy o 11, to znów otrzymamy ciąg arytmetyczny.Wyznacz te liczby.

Answer 1

niech a₁,a₂,a₃ to rosnący ciąg arytmetyczny, zatem

a₂=a₁+r

a₃=a₂+r=a₁+2r

mamy

a₁,a₁+r,a₁+2r to ciąg arytmetyczny

niech a₁+1,a₁+r,a₁+2r to ciąg geometryczny, zatem

(a₁+r)/(a₁+1)=(a₁+2r)/(a₁+r)

niech

a₁+1,2(a₁+r),a₁+11 tociąg arytmetyczny, 

zatem

2a₁+2r-a₁-r=a₁+11-2a₁+2r

po przekształceniach dostajemy

a₁=-r+6

podstawiamy wyliczone a₁ do proporcji otrzymanej z ciągu geometrycznego

otrzymujemy

(-r+6+r)/(-r+6+1)=(-r+6+2r)/(-r+6-r)  r≠-7

po przekształceniach otrzymujemy

r²-r-6=0

Δ=25

√Δ=5

r₁=-2

r₂=3

z treści zadania wykluczmy r₁, gdyż wtedy ciąg nasz byłby malejący, zatem

r=3

a₁=3

nasz ciąg ma postać

3,6,9