Question

Trzy liczby log 2 , log (2^{x} - 1) , log (2^{x} + 3) ustawione w tej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x.

Answer 1

 ( 2^x -1   musi być    > 0 

Ciąg jest arytmetyczny, zatem mamy

log (2^x - 1) - log 2 = log ( 2^x + 3) - log ( 2^x - 1)

log[(2^x - 1)/2 ] = log [ (2^x + 3)/(2^x - 1)]

zatem

(2^x - 1)/2  = (2^x + 3)/(2^x - 1)

( 2^x - 1)^2 = 2*(2^x + 3)

Podstawienie: y =2^x

Mamy

(y - 1)^2 = 2*(y + 3)

y^2 -2y + 1 = 2y + 6

y^2 - 4y  - 5 = 0

delta = (-4)^2 - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36

p(delty) = 6

y1 = [ 4 - 6]/2  = -2/2 = - 1

y2 = [ 4 + 6 ]/2 = 10/2 =  5

zatem

2^x1 =  - 1  - sprzeczność

2^x2 = 5

x2 = log 2 ( 5)

Odp. x = log 2 ( 5 )

==========================